التغير الطردي: كيف تكتب المعادلة من جدول أو مسألة؟ طريق المعرفة

الإجابة المباشرة: يكون التغير طرديًا عندما تكون النسبة بين كميتين ثابتة، وتكتب معادلته غالبًا على الصورة ص = ك س، حيث ك هو ثابت التغير. لإيجاد ك نقسم ص على س باستخدام أي زوج من القيم غير الصفرية، ثم نعوض بقيمة ك في المعادلة.

ما معنى التغير الطردي؟

التغير الطردي علاقة تزداد فيها كمية أو تنقص بنسبة ثابتة مع كمية أخرى. إذا كان ثمن الدفتر 4 ريالات، فإن ثمن دفترين 8 ريالات وثمن ثلاثة دفاتر 12 ريالًا. النسبة بين الثمن وعدد الدفاتر تساوي دائمًا 4، ولذلك يكتب النموذج: الثمن = 4 × العدد.

يعرف OpenStax العلاقة الطردية بأنها علاقة تكون فيها إحدى الكميتين حاصل ضرب ثابت في الكمية الأخرى. ويسمى العدد الثابت ك ثابت التغير أو ثابت التناسب. في الصورة الخطية الأساسية ص = ك س، تكون النسبة ص ÷ س مساوية لك لكل قيمة س غير صفرية.

كيف تعرف أن الجدول يمثل تغيرًا طرديًا؟

اختر كل زوج من قيم س وص، ثم احسب ص ÷ س. إذا حصلت على العدد نفسه في جميع الصفوف، فالجدول يمثل تغيرًا طرديًا. أما إذا اختلفت النسب، فلا يمثل تغيرًا طرديًا بالصورة ص = ك س. وجود الصف (0، 0) متوقع أيضًا؛ فعندما تكون س صفرًا تعطي المعادلة ص = ك × 0 = 0.

مثال من جدول

لنفترض أن قيم س هي 2 و4 و7، وأن قيم ص المقابلة هي 6 و12 و21. نحسب 6 ÷ 2 = 3، و12 ÷ 4 = 3، و21 ÷ 7 = 3. النسبة ثابتة، إذن ك = 3 والمعادلة هي ص = 3س.

إذا كانت القيم: س = 2 و4 و6، وص = 5 و10 و16، فالنسب هي 2.5 و2.5 ونحو 2.67. بما أن النسبة الأخيرة مختلفة، لا تمثل القيم تغيرًا طرديًا دقيقًا.

كتابة المعادلة من زوج مرتب

إذا قيل إن ص تتغير طرديًا مع س، وإن ص = 20 عندما س = 8، نبدأ بالصيغة ص = ك س. نعوض: 20 = ك × 8. بقسمة الطرفين على 8 نجد ك = 2.5. تصبح المعادلة ص = 2.5س. للتحقق، نعوض س = 8 فنحصل على ص = 20.

كتابة المعادلة من مسألة لفظية

حدد أولًا الكمية المستقلة التي نختارها س، والكمية الناتجة التي نختارها ص. بعد ذلك ابحث عن زوج معلوم، ثم احسب ثابت التغير. لا تعتمد على كلمة «يزداد» وحدها؛ فليست كل علاقة تزداد فيها الكميتان تغيرًا طرديًا. الشرط الأساسي هو ثبات النسبة ومرور التمثيل البياني بنقطة الأصل.

مثال: أجرة الساعات

يحصل طالب على 90 ريالًا مقابل 6 ساعات من العمل. إذا كانت الأجرة تتغير طرديًا مع عدد الساعات، نجعل س عدد الساعات وص الأجرة. ك = 90 ÷ 6 = 15، والمعادلة ص = 15س. مقابل 9 ساعات تكون الأجرة 15 × 9 = 135 ريالًا.

مثال: المسافة والزمن

قطار يتحرك بسرعة ثابتة ويقطع 150 كيلومترًا في 3 ساعات. المسافة تتغير طرديًا مع الزمن ما دامت السرعة ثابتة. ثابت التغير = 150 ÷ 3 = 50 كيلومترًا في الساعة، والمعادلة ف = 50ز. خلال 5 ساعات يقطع 250 كيلومترًا. ويمكن مراجعة شرح وحدة قياس السرعة م/ث لربط التناسب بوحدات الحركة.

كيف يبدو الرسم البياني للتغير الطردي؟

تمثل المعادلة ص = ك س خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل (0، 0). قيمة ك هي ميل الخط؛ إذا كانت ك موجبة يرتفع الخط من اليسار إلى اليمين، وإذا كانت سالبة ينخفض. كلما زادت القيمة المطلقة لك أصبح الخط أشد انحدارًا. المرور بنقطة الأصل علامة مهمة، لكنه لا يكفي وحده إذا لم تكن العلاقة خطية.

الفرق بين التغير الطردي والعلاقة الخطية العامة

العلاقة الخطية العامة تكتب ص = م س + ب، وقد يكون ب عددًا غير صفري. مثلًا أجرة سيارة تبدأ بمبلغ ثابت 10 ريالات ثم تضاف 3 ريالات لكل كيلومتر: ص = 3س + 10. هذه علاقة خطية، لكنها ليست تغيرًا طرديًا لأن ص لا تساوي صفرًا عندما س تساوي صفرًا، ولأن النسبة ص ÷ س ليست ثابتة.

الفرق بين التغير الطردي والعكسي

في التغير الطردي تكون النسبة ص ÷ س ثابتة، وتكتب العلاقة ص = ك س. في التغير العكسي يكون حاصل الضرب س × ص ثابتًا، وتكتب ص = ك ÷ س. مثال التغير العكسي: الزمن اللازم لإنجاز عمل ثابت يقل عندما يزيد عدد العمال المتساوين في القدرة، ضمن افتراضات المسألة.

خطة حل من أربع خطوات

اكتب صيغة التغير الطردي ص = ك س.
عوض بالزوج المعلوم من قيم س وص.
اقسم لإيجاد ك، ثم اكتب المعادلة الجديدة.
استخدم المعادلة لإيجاد المطلوب وتحقق من الوحدة ومن معقولية النتيجة.

أخطاء شائعة

قسمة س على ص بدل ص على س من دون الانتباه لتعريف المتغيرين.
استخدام زوجين من صفوف مختلفة في الجدول.
اعتبار أي خط مستقيم تغيرًا طرديًا ولو لم يمر بنقطة الأصل.
نسيان الوحدات؛ فقد يكون ثابت التغير ريالًا لكل قطعة أو كيلومترًا لكل ساعة.
التقريب المبكر للكسور العشرية، مما يسبب اختلافًا في الإجابة النهائية.

تدريب سريع مع الحل

تتغير ص طرديًا مع س، وص = 28 عندما س = 7. أوجد المعادلة ثم قيمة ص عندما س = 12. الحل: ك = 28 ÷ 7 = 4، إذن ص = 4س. عند س = 12 تكون ص = 48.

جدول آخر يحتوي الأزواج (3، 9)، (5، 15)، (8، 24). النسبة ص ÷ س تساوي 3 في كل مرة، لذلك المعادلة ص = 3س. أما الأزواج (2، 6)، (4، 12)، (6، 20) فلا تمثل تغيرًا طرديًا لأن النسبة الأخيرة ليست 3.